O Último Teorema de Fermat é uma das afirmações mais célebres e intrigantes da história da matemática, que por mais de 350 anos desafiou os matemáticos ao redor do mundo.

Sua afirmação simples, mas poderosa, dizia que não existem números inteiros positivos $a$, $b$ e $c$ que satisfaçam a equação an+bn=cna^n + b^n = c^nan+bn=cn para $n>2$.

A solução para esse problema levou à criação de novas áreas de estudo e, finalmente, a uma das mais grandiosas conquistas matemáticas do século XX.

Quando surgiu o Teorema?

O Último Teorema de Fermat foi originalmente formulado por Pierre de Fermat no século XVII. Em 1637, Fermat escreveu sua famosa observação à margem de um exemplar do livro Arithmetica de Diophantus.

Ele alegou ter encontrado uma “prova maravilhosa” para o teorema, mas, por uma ironia do destino, nunca deixou nenhum registro dessa prova. Fermat morreu em 1665, sem revelar o método que afirmava ter descoberto.

A falta de uma prova formal gerou um enigma que perdurou por séculos. Ao longo dos anos, matemáticos tentaram provar o teorema para casos específicos de $n$, mas o desafio de encontrar uma prova geral permaneceu.

Entre os matemáticos que se aventuraram a resolver o problema estavam Euler (para $n=3$), Sophie Germain e muitos outros, mas todos falharam em resolver o teorema para o caso geral.

O Último Teorema de Fermat teve um impacto significativo no campo da Teoria dos Números. Sua solução incentivou o desenvolvimento de novas técnicas matemáticas, como a teoria algébrica dos números, as formas modulares e, principalmente, as curvas elípticas. O teorema estava profundamente ligado à conjectura de Taniyama-Shimura-Weil, que sugeria uma conexão entre essas duas áreas aparentemente distintas da matemática.

A resolução do teorema não apenas encerrou um mistério de séculos, mas também fortaleceu uma das grandes conjecturas matemáticas da época, mostrando como as ferramentas da teoria das curvas elípticas e formas modulares poderiam ser aplicadas para resolver problemas antigos da matemática.

A prova de Andrew Wiles

Na década de 1980, o britânico Andrew Wiles dedicou-se intensa e secretamente a esse problema. Após mais de sete anos de pesquisa fundamentada em técnicas avançadas da teoria algébrica dos números, Wiles anunciou em 1993 uma prova do teorema, baseada na comprovação do caso semiestável da conjectura de Taniyama-Shimura.

A prova de Wiles não demonstrou diretamente o Último Teorema de Fermat, mas sim que certas curvas elípticas — associadas hipoteticamente às soluções da solução de Fermat — seriam modulares, o que implicava que tais soluções não podem existir.

Embora inicialmente tenha sido encontrada uma falha técnica na prova em 1994, Wiles, junto com o matemático Richard Taylor, conseguiu corrigi-la em 1995, consolidando a prova definitiva. A comunidade matemática celebrou esse avanço como uma das maiores conquistas do século XX.

A prova do Último Teorema de Fermat teve um impacto profundo não apenas na resolução de um enigma matemático, mas também na evolução da teoria da modularidade.

A solução de Wiles não apenas resolveu o problema de Fermat, mas também contribuiu significativamente para o fortalecimento da teoria das curvas elípticas e o estudo das representações galoisianas.

O trabalho de Wiles abriu caminho para novos avanços e pesquisas em áreas como a teoria dos números e a geometria algébrica, além de ter fornecido ferramentas importantes para o desenvolvimento de outras conjecturas matemáticas complexas.

Uma versão simples do teorema

Para entender a essência do Último Teorema de Fermat de forma mais acessível, podemos recorrer a uma generalização do clássico Teorema de Pitágoras:

O teorema de Pitágoras afirma que para um triângulo retângulo com catetos de comprimento $b$e hipotenusac, vale que:

um2+b2=c2,um2+b2=c2,

e existem infinitos números inteiros$c$que satisfazem essa relação (os chamados ternos pitagóricos).

O Último Teorema de Fermat propõe que para qualquer potência maior que 2, ou seja, para todo $n>2$, a equação

umn+bn=cnumn+bn=cn

não possui solução em inteiros positivos distintos de zero. Em outras palavras, a "extensão do teorema de Pitágoras" para potências superiores não permite a existência de soluções inteiras, fazendo dessa uma propriedade singular e única.